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Leetcode.174 地下城游戏 hard

题目描述

恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 $dungeon$ 的 右下角 。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在 左上角 的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 $0$ 或以下，他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 $0$），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。

为了尽快解救公主，骑士决定每次只 向右 或 向下 移动一步。

返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

注意：任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

示例 1：

输入：dungeon = [[-2,-3,3],[-5,-10,1],[10,30,-5]]
输出：7
解释：如果骑士遵循最佳路径：右 -> 右 -> 下 -> 下 ，则骑士的初始健康点数至少为 7 。

示例 2：

输入：dungeon = [[0]]
输出：1

提示：

• $m=dungeon.length$
• $n=dungeon[i].length$
• $1\le m,n\le 200$
• $-1000\le dungeon[i][j]\le 1000$

解法：动态规划

假设我们考虑从左上角到右下角，这样的话我们需要考虑两个因素：当前路径和 ，当前路径上的最小路径和。因为存在两个同等重要的因素，所以我们无法确定下一个位置。

既然从左上角到右下角不行，那么我们就考虑从右下角到左上角。

考虑从右下角到左上角，我们定义 $f(i,j)$ 为从位置 $(i,j)$ 到终点 $(m-1,n-1)$所需要的最低初始健康点数。按照定义，最终我们返回的结果就是 $f(0,0)$。

$f(i,j)$ 只与 $f(i+1,j)$ 和 $f(i,j+1)$ 以及 $dungeon[i][j]$ 有关。

即 f ( i , j ) = m i n { f [ i + 1 ] [ j ] , f [ i ] [ j + 1 ] } − d u n g e o n [ i ] [ j ] f(i,j) = min \{ f[i + 1][j] , f[i][j + 1] \} - dungeon[i][j] f(i,j)=min{f[i+1][j],f[i][j+1]}−dungeon[i][j]。

因为 $f[i][j]$ 必须是 $\ge 1$ 的，所以最终的转移方程为：

f ( i , j ) = m a x { m i n ( f [ i + 1 ] [ j ] , f [ i ] [ j + 1 ] ) − d u n g e o n [ i ] [ j ] , 1 } f(i,j) = max \{ min ( f[i + 1][j] , f[i][j + 1] ) - dungeon[i][j],1\} f(i,j)=max{min(f[i+1][j],f[i][j+1])−dungeon[i][j],1}

当 $i=m-1$ 或者 $j=n-1$时，$f[i+1][j]$ 和 $f[i][j+1]$ 就会分别越界。初始直接定义 $f[i][j]$ 为一个较大的值，这里我设置的是 $10^9$。

特别需要注意的是，我们直接把 $f[m][n-1]$ 和 $f[m-1][n]$ 设置为 $1$，这样是为了让 $f[m-1][n-1]=dungeon[m-1][n-1]$。

时间复杂度： $O(m\times n)$

C++代码：

class Solution {
public:
    int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& g) {
        int m = g.size() , n = g[0].size();
        vector<vector<int>> f(m + 1,vector<int>(n + 1,1e9));

        f[m][n - 1] = 1;
        f[m - 1][n] = 1;

        for(int i = m - 1;i >= 0;i--){
            for(int j = n - 1;j >= 0;j--){
                int t = min(f[i + 1][j],f[i][j + 1]);
                f[i][j] = max(t - g[i][j] , 1);
            }
        }

        return f[0][0];
    }
};